实变函数笔记20250328

第四章 Lebesgue 积分

简单函数 Lebesgue 积分定义

ϕ:E→R\phi: E\rightarrow \R为简单函数，即ϕ=∑k=1nckχEk\phi=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{E_k}，则其 Lebesgue 积分定义为

∫Eϕ:=∑k=1nckm(Ek)\int_E\phi:=\sum_{k=1}^nc_km(E_k)

其具有如下性质：

  1. 线性性：∀α,β∈R,⇒∫E(αϕ+βψ)=α∫Eϕ+β∫Eψ\forall\alpha,\beta\in\R,\Rightarrow \int_E(\alpha\phi+\beta\psi)=\alpha\int_E\phi+\beta\int_E\psi
  2. 可加性：C∩F=ϕ,⇒∫E∪Fϕ=∫Eϕ+∫FϕC\cap F=\phi,\Rightarrow \int_{E\cup F}\phi=\int_E\phi+\int_F\phi
  3. 单调性：ϕ≤ψ⇒∫Eϕ≤∫Eψ\phi\leq\psi\Rightarrow\int_E\phi\leq\int_E\psi
  4. 三角不等式：∣∫Eϕ∣≤∫E∣ϕ∣|\int_E\phi|\leq\int_E|\phi|

有界可测函数 Lebesgue 积分定义

EE 可测，m(E)<∞,f:E→Rm(E)<\infty,f:E\rightarrow\R有界（但不一定可测）则
定义 Lebesgue 下积分 ∫‾Ef:=sup⁡{∫Eϕ; ϕ:E→R\underline{\int}_Ef:=\sup\{\int_E\phi;\ \phi:E\rightarrow\R且为简单函数, a.e. ϕ≤f},\ a.e.\ \phi\leq f\}
定义 Lebesgue 上积分 ∫‾Ef:=inf⁡{∫Eψ; ψ:E→R\overline{\int}_Ef:=\inf\{\int_E\psi;\ \psi:E\rightarrow\R且为简单函数, a.e. ψ≥f},\ a.e.\ \psi\geq f\}
如果∫‾Ef=∫‾Ef\underline{\int}_Ef=\overline{\int}_Ef，则称 ff 是 Lebesgue 可积的，记为∫Ef\int_E f