实变函数笔记20250328
第四章 Lebesgue 积分
简单函数 Lebesgue 积分定义
ϕ:E→R为简单函数,即ϕ=∑k=1nckχEk,则其 Lebesgue 积分定义为
∫Eϕ:=k=1∑nckm(Ek)
其具有如下性质:
- 线性性:∀α,β∈R,⇒∫E(αϕ+βψ)=α∫Eϕ+β∫Eψ
- 可加性:C∩F=ϕ,⇒∫E∪Fϕ=∫Eϕ+∫Fϕ
- 单调性:ϕ≤ψ⇒∫Eϕ≤∫Eψ
- 三角不等式:∣∫Eϕ∣≤∫E∣ϕ∣
有界可测函数 Lebesgue 积分定义
E 可测,m(E)<∞,f:E→R有界(但不一定可测)则
定义 Lebesgue 下积分 ∫Ef:=sup{∫Eϕ; ϕ:E→R且为简单函数, a.e. ϕ≤f}
定义 Lebesgue 上积分 ∫Ef:=inf{∫Eψ; ψ:E→R且为简单函数, a.e. ψ≥f}
如果∫Ef=∫Ef,则称 f 是 Lebesgue 可积的,记为∫Ef