实变函数笔记20250328


第四章 Lebesgue 积分

简单函数 Lebesgue 积分定义

ϕ:ER\phi: E\rightarrow \R为简单函数,即ϕ=k=1nckχEk\phi=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{E_k},则其 Lebesgue 积分定义为

Eϕ:=k=1nckm(Ek)\int_E\phi:=\sum_{k=1}^nc_km(E_k)

其具有如下性质:

  1. 线性性:α,βR,E(αϕ+βψ)=αEϕ+βEψ\forall\alpha,\beta\in\R,\Rightarrow \int_E(\alpha\phi+\beta\psi)=\alpha\int_E\phi+\beta\int_E\psi
  2. 可加性:CF=ϕ,EFϕ=Eϕ+FϕC\cap F=\phi,\Rightarrow \int_{E\cup F}\phi=\int_E\phi+\int_F\phi
  3. 单调性:ϕψEϕEψ\phi\leq\psi\Rightarrow\int_E\phi\leq\int_E\psi
  4. 三角不等式:EϕEϕ|\int_E\phi|\leq\int_E|\phi|

有界可测函数 Lebesgue 积分定义

EE 可测,m(E)<,f:ERm(E)<\infty,f:E\rightarrow\R有界(但不一定可测)则
定义 Lebesgue 下积分 Ef:=sup{Eϕ; ϕ:ER\underline{\int}_Ef:=\sup\{\int_E\phi;\ \phi:E\rightarrow\R且为简单函数, a.e. ϕf},\ a.e.\ \phi\leq f\}
定义 Lebesgue 上积分 Ef:=inf{Eψ; ψ:ER\overline{\int}_Ef:=\inf\{\int_E\psi;\ \psi:E\rightarrow\R且为简单函数, a.e. ψf},\ a.e.\ \psi\geq f\}
如果Ef=Ef\underline{\int}_Ef=\overline{\int}_Ef,则称 ff 是 Lebesgue 可积的,记为Ef\int_E f